[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Krzysztof Ciesielski

Zdzisław Pogoda

DIAMENTY MATEMATYKI

Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wśród znanych wzorów, opisujących zależności wiążące ze sobą różne liczby, wybija się jeden, krótki, prosty, choć na pierwszy rzut oka wyglądający może trochę odstraszająco. Tym niemniej wielu matematyków uważa go za jedno z najpiękniejszych twierdzeń matematyki. Mowa o wzorze

ei ? +1=0

.

Cóż w nim takiego szczególnego? Dlaczego wielu matematyków sądzi, że jest on "ładniejszy " od, na przykład, niewątpliwie prawdziwego związku "2+2=4"? Jeden z podstawowych argumentów, jakie się wysuwa, stwierdza, że wzór ei ? +1=0 w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych. Stałe te pojawiły się w matematyce zupełnie niezależnie, dla potrzeb różnych gałęzi tej nauki. Także i dziś, w matematyce współczesnej, definiuje się je całkiem odmiennymi sposobami - z wyjątkiem liczb 0 i 1, które w oczywisty sposób wydają się "podobne", różne od pozostałych trzech.

"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne (czyli: 1, 2, 3, 4,... itd.) znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Wielu matematyków zalicza do liczb naturalnych również 0.

Zero pojawiło się w historii zaskakująco późno. Starożytni Grecy, którzy ogromnie przyczynili się do rozwoju matematyki, nie znali pojęcia zera, co bardzo poważnie komplikowało ich sposób zapisywania liczb. Żmudną i niełatwą pracę stanowiło wykonywanie działań. Podobnie było przy użyciu rzymskiego systemu zapisu liczb. Jeśli ktoś ma wątpliwości, niech pomnoży przez siebie dwie liczby: CCCLX i DXXIII - ale bez tłumaczenia na układ dziesiętny. Zero wprowadzono, wraz z liczbami ujemnymi, w Indiach (VI-VIII wiek n. e., choć podobno Chińczycy znali je wcześniej). Hindusi rozpowszechnili też system pozycyjny zapisywania liczb, choć przypuszcza się, że początkowo korzystali jedynie z dziewięciu cyfr odpowiadających naszym cyfrom od 1 do 9, zera zaś zaczęli używać znacznie później; nazywali je sunya, co miało znaczyć "pusty" lub "próżny". Dziesiętny system pozycyjny wraz z zerem przejęli od Hindusów Arabowie. Zwrot "pusty" przetłumaczyli mniej więcej na as-sifr, co z kolei przełożono na łacinę jako zephyrum. Od tego wyrazu wywodzi się słowo "zero", a także "cyfra".

Bardzo długo jednak zera nie traktowano jako liczby równouprawnionej z innymi. Zero oznaczało "nic", a "nic" nie może przecież być liczbą. Służyło ono do zapełniania dziur i pustych miejsc, co często prowadziło do nieporozumień, pomyłek i nadużyć. Jeszcze w XV wieku zero traktowano z dużą rezerwą. Na przykład równanie

x2-3x=0

przy użyciu ówczesnej symboliki zapisywano w wersji

x2=3x,

gdyż 0, jako nic nie oznaczające, nie powinno występować w równaniu. Systematycznie pomijano też rozwiązania zerowe. Opór związany ze stosowaniem zera został przełamany w XVI

i XVII wieku, gdy rozwinęły się techniki rachunkowe istotnie wykorzystujące system pozycyjny.

Zaliczenie zera do liczb naturalnych jest oczywiście kwestią umowy, ale ma swoje niebanalne uzasadnienie. Otóż jeśli liczby naturalne zdefiniuje się na gruncie teorii mnogości (czyli teorii zbiorów, w pewnym sensie najbardziej podstawowej), to korzystnie będzie uznać zero za liczbę naturalną; liczby naturalne określone są przy wykorzystaniu cech zbiorów skończonych, a 0 jest liczbą elementów zbioru pustego.

Warto dodać, że jedynka odgrywała wyjątkową rolę w arytmetyce starożytnych Greków. Nie uważali oni jedynki za liczbę, ale za coś w rodzaju "praliczby", czyli obiektu, który jedynie służył do tworzenia prawdziwych liczb. Według Greków pierwszą prawdziwą liczbą była dopiero dwójka.

Czym liczby 0 i 1 wyróżniają się spośród pozostałych liczb naturalnych, na czym polega ich wyjątkowość? Odpowiedź na to pytanie wiąże się z dwoma podstawowymi działaniami arytmetycznymi - dodawaniem i mnożeniem. Działanie (w jakimś zbiorze) to przyporządkowanie dwóm dowolnym elementom z tego zbioru elementu trzeciego. Na przykład w zbiorze liczb naturalnych działaniami są: dodawanie, mnożenie, przyporządkowanie dwóm liczbom ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Oczywiście działania nie muszą być określone na zbiorach liczbowych, na przykład działaniem jest przyporządkowanie dwóm uczniom z jednej szkoły starszego z nich albo dwóm zbiorom ich części wspólnej. Licznych przykładów dostarcza geometria, działaniem jest składanie przekształceń. Zauważmy, że odejmowanie nie jest działaniem w zbiorze liczb naturalnych! Żadnej liczby naturalnej nie otrzymamy bowiem w wyniku operacji 3-5 (albo 7-11). Odejmowanie jest natomiast działaniem w zbiorze liczb całkowitych (..., -3, -2, -1,0,1,2,...).

Przyporządkowywać dwóm elementom trzeci można oczywiście na całkowicie dowolne sposoby, przy czym działania mogą być bardzo różne. Jednakże te, nad którymi badania mają znaczenie, winny spełniać rozmaite dodatkowe warunki. Warunki te nie są zbyt wysublimowane, raczej naturalne, ale bez nich po prostu działania stają się mało interesujące. Jednym z takich ograniczeń jest żądanie, by w zbiorze istniał element neutralny - czyli taki, że działanie nim na dowolny inny element niczego nie zmienia, pozostawia ten drugi w tej samej postaci (i to niezależnie od kolejności działania). Tę własność ma jedynka przy mnożeniu, zero zaś przy dodawaniu. Istotnie:

1 × a = a × 1 = a

0 + a = a + 0 = a

Dzieje się tak dla dowolnej liczby a - zarówno naturalnej, jak i całkowitej, wymiernej czy rzeczywistej. Liczby 0 oraz 1 są zatem elementami neutralnymi dwóch podstawowych działań.

Liczby i e są daleko mniej "porządne" od zera i jedynki.

Jedną z pierwszych wielkich niespodzianek dotyczących liczb było odkrycie liczb niewymiernych. Przygoda ta przytrafiła się starożytnym Grekom, próbującym wyliczyć długość przekątnej kwadratu o danym boku. Okazało się wtedy, że stosunek długości przekątnej do boku nie jest liczbą wymierną, to znaczy nie da się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Dla Greków był to swego rodzaju szok, waliła się ich koncepcja filozoficzna świata, którym miały rządzić liczby naturalne oraz ich proporcje; nie przypuszczali, że takie obiekty (czyż można je nazwać liczbami?) mogą istnieć. My dziś w liczbie nie widzimy nic dziwnego...

Liczba ma podobny rodowód, choć przez tysiąclecia nikt nie zastanawiał się nad jej naturą. Ale już w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się p) jest wielkością stałą i, co istotne, wielce przydatną do obliczania pól rozmaitych figur. Tym niemniej dokładnej jego wartości nie udało się wyliczyć (a rozważali ten problem już Babilończycy dwa tysiące lat przed naszą erą; przyjmowali oni, że stosunek ten wynosi w przybliżeniu 3). Ciekawe, że w piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić, czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nie znanych nam z imienia uczonych. Ponad dwa tysiące lat później, w III wieku przed Chrystusem, Archimedes, jeden z najwybitniejszych umysłów w historii, oszacował jako 22/7 (czyli z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), a do wyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz.

Używany dzisiaj symbol nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Matheseos ( pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia"), a rozpowszechnił później Leonhard Euler (1707-1783). Liczba ta nazywana jest też ludolfiną, od imienia Ludolpha van Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością do 35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było wyczynem nie lada. Stopniowo wyliczano z większą dokładnością; w 1974 roku Jean Guillod i Martine Bouyer rozwinęli do... milionowego miejsca po przecinku, oczywiście przy użyciu komputera. i na tym się nie skończyło, bo ambitnych nie brakuje. Jesienią 1995 ogłoszony został rekord wynoszący 6 442 450 000 cyfr. Odpowiednią liczbę osiągnięto za pomocą programu napisanego przez Japończyka Daisuke Takahashi, sprawdzonego niezależnie na dwóch komputerach. Czas pracy każdego z komputerów wynosił około 5 dni.

Jak zapamiętać początkowe cyfry rozwinięcia ? Jedną z metod są wiersze i powiedzonka składające się ze słów o odpowiedniej liczbie liter. Najstarszy jest chyba tekst, którego autorem jest Clemens Brentano (1778-1842), wybitny poeta niemiecki okresu Romantyzmu, brat przyjaciółki Goethego:

Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.

Co oznacza (w przekładzie Witolda Rybczyńskiego):

Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach.

Rybczyński sam napisał (w 1949 roku), wzorując się właśnie na Brentano, jedno z najlepiej znanych polskich powiedzonek tego rodzaju; jego tekst zawierał 36 słów, gdyż właśnie tyle cyfr rozwinięcia obliczył van Ceulen. Starszym (najprawdopodobniej najstarszym polskim) jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego:

Kuć i orać w dzień zawzięcie,

Bo plonów niema bez trudu!

Złocisty szczęścia okręcie,

Kołyszesz...

Kuć! My nie czekajmy cudu.

Robota to potęga ludu!

Ten utwór został opublikowany w przedwojennym czasopiśmie "Parametr", poświęconym nauczaniu matematyki, w październiku 1930 roku. Autor zaproponował jednocześnie redakcji ogłoszenie konkursu na napisanie lepszego wiersza. Cwojdziński, który sam chciał być jurorem w konkursie, ufundował za najlepszy wiersz nagrodę w wysokości 50 złotych, jednocześnie oznajmiając, że "twórcy zbyt lichych wierszyków zapłacą karę do 10 złotych". Redakcja "Parametru", zamieszczając wiersz Cwojdzińskiego i informując o jego propozycji konkursu, dodała przypisek: "Redakcja niezwłocznie zwróciła się do Autora z żądaniem zapłacenia 10 złotych kary".

Wśród autorów powiedzonek służących do zapamiętania jest wiele bardzo sławnych osób. Obok Brentano można wymienić na przykład znakomitego polskiego uczonego, długoletniego prezesa Polskiej Akademii Nauk, Janusza Groszkowskiego (1898-1984), oraz wybitnego astronoma i fizyka, sir Jamesa Jeansa (1877-1946). Właśnie Jeans sformułował jedno z najbardziej znanych mnemotechnicznych zdań:

How i want a drink, alcoholic of course,

after the heavy chapters involving quantum mechanics.

Dodajmy jeszcze, że w roku 1986 pismo "The Mathematical Intelligencer" opublikowało opowiadanie Michaela Keitha odpowiednio prezentujące rozwinięcie liczby aż do 402 miejsca po przecinku. Zapewne jest to najdłuższy taki utwór.

Bardzo szybko okazało się, że liczba ma istotne znaczenie w wielu fundamentalnych zagadnieniach. Stwierdzono, że za jej pomocą można dokładnie podać, w zależności od promienia, także i pole koła, objętość i pole powierzchni kuli, wielkości związane ze stożkami i innymi bryłami obrotowymi... Wzory zapisane za pomocą są zaskakująco proste. Niezwykle pomysłowe metody liczenia objętości brył przedstawił Archimedes, który wyniki badań nad kulą i walcem uważał za swoje największe osiągnięcie; zażyczył sobie nawet, aby na jego grobie umieszczono kulę i opisany na niej walec. Archimedes, przy swej ogromnej wszechstronności, był przede wszystkim matematykiem, dziś jednak wielu uważa go głównie za fizyka.

Jednym z najsłynniejszych problemów starożytności było zagadnienie kwadratury koła; chodziło o to, by skonstruować - używając jedynie cyrkla i linijki - kwadrat o powierzchni równej polu danego koła. Szybko okazało się, że zadanie sprowadza się do konstrukcji odcinka o długości p; w V wieku p.n.e. Hippokrates z Chios doszedł do wniosku, że powierzchnia koła jest proporcjonalna do kwadratu jego promienia. Problem kwadratury koła atakowany był wielokrotnie, przez 2 tysiące lat jednakże bezskutecznie; uzyskano jedynie wiele ciekawych konstrukcji przybliżonych. Autorem jednej z najelegantszych (a przy tym bardzo dokładnej) był Polak, Adam Adamandy Kochański, nadworny zegarmistrz Jana III Sobieskiego. Problem ten rozstrzygnięto dopiero w XIX wieku, ale z nad wyraz zaskakującym efektem.

Przez wiele wieków badacze prawdopodobnie nie podejrzewali, że liczba ta może nie być wymierna. To, że nic nie wiadomo o wymierności lub niewymierności , pierwszy zauważył w XVII wieku Christiaan Huygens (1629-1695). Matematycy wieku XVIII byli w zasadzie przekonani o niewymierności , nie potrafili jednak tego wykazać. Pierwszą próbę dowodu przedstawił w 1767 roku Szwajcar Johann Lambert. Natomiast w roku 1882 Niemiec Ferdinand Lindemann rozstrzygnął ostatecznie podstawowy problem dotyczący liczby , a tym samym odpowiedział na pytanie o kwadraturę koła. Lindemann wykazał mianowicie, że jest liczbą przestępną. Co to znaczy?

Otóż wśród liczb niewymiernych istnieją mniej lub bardziej "przyzwoite". Ważne znaczenie mają liczby nazywane algebraicznymi, czyli takie, które są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach całkowitych. Każda liczba wymierna ma tę własność; istotnie, jeśli można ją przedstawić w postaci p/q , gdzie p i q są całkowite, to odpowiednim wielomianem będzie qx - p. Nie tylko liczby wymierne mogą być algebraiczne; na przykład jest pierwiastkiem równania x2-2=0. Okazuje się jednak, że nie wszystkie liczby rzeczywiste są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach całkowitych; co więcej, tych pozostałych jest bardzo dużo. Nazwano je liczbami przestępnymi i taka właśnie jest w szczególności .

Fakt, że nie jest liczbą algebraiczną, rozstrzygnął w sposób definitywny problem kwadratury koła; z rezultatu Lindemanna wynikało, że odpowiedniej konstrukcji, nad którą tyle osób długo się męczyło, żądanymi metodami przeprowadzić po prostu się nie da. Dowód Lindemanna opierał się między innymi na tym, że przestępna jest liczba e (co wykazał 11 lat wcześniej Francuz Charles Hermite) oraz na... znanym już wtedy wzorze ei +1=0.

Pokazuje to, że wzór, o którym mowa, miał dla matematyki niezwykle znaczące następstwa!

w ten sposób doszliśmy do liczby e. Zanim jednak bliżej się nią zajmiemy, wspomnijmy jeszcze, że od 1593 roku datuje się inna metoda wyrażania - za pomocą działań nieskończonych, a zapoczątkowana przez François Vie?te'a. Szczególnie ładnie wygląda wzór Leibniza i Gregory'ego z 1674 roku:

p/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Nie ma zeń jednak praktycznego pożytku; chcąc za jego

pomocą obliczyć z dokładnością do dziesiątego miejsca po przecinku, należy dodać do siebie około... 5 miliardów wyrazów.

Rodowód ;jest geometryczny, a liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach. w starożytności jej nie znano. Zetknięto się z nią dopiero na przełomie XVI i XVII wieku. w tym czasie szkocki matematyk John Napier (w Polsce używa się często nazwiska Neper) ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy pozwalały zamieniać mnożenie na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie - i to na znacznie mniejszych liczbach! Dzięki logarytmom astronomowie zaoszczędzili wiele czasu, który musieliby poświęcić na niezwykle żmudne rachunki.

Logarytmy wymyślone przez Napiera były podobne do współczesnych logarytmów naturalnych (tj. logarytmów o podstawie e). Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera, oznaczenie "e" zaś wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler. Najczęściej liczbę e definiuje się jako granicę ciągu (1+1/n)n, gdy n zmierza do nieskończoności. w przybliżeniu e = 2,718281... Można ją otrzymać także jako wynik sumy nieskończonej:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...

Ten wzór bardzo szybko daje dobre przybliżenia. Jak już powiedzieliśmy, liczba e także jest liczbą przestępną.

Liczba Napiera ma w matematyce (i to w różnych jej działach) ogromne znaczenie i liczne zastosowania. Szczególnie istotną rolę odgrywa w analizie matematycznej. Dzieje się tak przede wszystkim dlatego, że funkcja wykładnicza o podstawie równej e (przypisująca liczbie x wartość ex) nie zmienia się po zróżniczkowaniu, jej pochodna równa jest jej samej: (ex)' = ex. Dodajmy, że jest to (z dokładnością do stałej) jedyne odwzorowanie o tej własności; mają ją tylko funkcje postaci: x -> Cex, gdzie C jest pewną stałą.

Liczba e pojawia się niejednokrotnie w sytuacjach, w których najmniej byśmy się jej spodziewali. Oto dwa przykłady.

Często poruszanym, ważnym tematem jest lokowanie pieniędzy w bankach, a w szczególności odsetki i procenty. Wyobraźmy sobie, że pojawił się bank, który płaci 100% odsetek. a więc, gdybyśmy złożyli w tym banku złotówkę, to po roku mielibyśmy dwa złote? Niekoniecznie, ponieważ istnieje coś takiego, jak okres kapitalizacji - czas, po jakim doliczane są odsetki. Gdyby ten okres wynosił rok, to rzeczywiście otrzymalibyśmy dwa złote. w niektórych bankach jednak okres ten jest krótszy (trzy miesiące, miesiąc). Przypuśćmy, że w naszym banku okres kapitalizacji wynosi 1/n część roku; wtedy po roku wypłacą nam (1 + 1/n )n złotych. Okresy te mogą być bardzo krótkie, w sytuacji idealnej bank powinien prowadzić kapitalizację ciągłą. Wtedy po roku ze złotówki uzyskalibyśmy e złotych.

Drugi przykład ma sugestywny model w sferach, powiedzmy, urzędniczych. Wyobraźmy sobie, że sekretarka w pewnym urzędzie miała wysłać kilkanaście listów. w pośpiechu listy wkładała do zaadresowanych kopert w sposób zupełnie przypadkowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy list trafi do niewłaściwej koperty? Okazuje się, że im większa jest liczba kopert, tym bardziej prawdopodobieństwo to zbliża się do 1/e. w ogóle w rachunku prawdopodobieństwa e pojawia się niemal na każdym kroku.

Natomiast i... Osobom, które mają z matematyką sporadyczne kontakty liczba i często kojarzy się z czymś tajemniczym, jeżeli nie podejrzanym. Liczba i znana jest jako "jednostka urojona", a także jako "pierwiastek z -1". w rzeczy samej, sformułowanie takie brzmi bardzo dziwnie; wiadomo przecież, że pierwiastki drugiego stopnia można wyciągać jedynie z liczb dodatnich.

Pierwszymi liczbami, jakie poznaje dziecko, są liczby naturalne. Możemy je dodawać, mnożyć, możemy też układać równania (w pierwszej klasie w miejsce zmiennej wstawia się puste okienko: 3+ _ =5). Nie wszystkie równania udaje się w zbiorze liczb naturalnych rozwiązać, jak na przykład 5+x=1. Pomocą służą liczby ujemne, w pełni uznane przez matematyków dopiero w XVIII wieku, a ...